bir toplulukta 23 kişi varsa, bu 23 kişiden herhangi ikisinin doğum gününün aynı olmasının olasılığını (burada doğum gününü yıldan bağımsız olarak sadece gün ve ay olarak düşünüyoruz 18 kasım gibi) yaklaşık %50 olarak, eğer 57 kişi varsa aynı olasılığın %99 civarında oluduğunu söyleyen problemdir.
öyle bir topluluk düşünün ki; bu topluluk içerisinde doğum günü aynı olan iki kişiyi kesinlikle bulabileyim sorusunun cevabı 366 dır. bir yıl 365 gün olduğundan dolayı bir yıldaki gün sayısından bir fazla kişiyle istenilen şeyi kesinlikle sağlarız. peki nasıl oluyor da %100 için 366 kişi gerekirken, 57 kişi ile %99 luk bir olasılıktan bahsedebiliyoruz.
bu sorunun yanıtı, arkasında güçlü bir olasılık teorisi olan doğum günü paradoksu ile verilebilir. hesaplamaları basitleştirmek amacıyla, probleme herhangi 2 kişinin aynı günde doğmuş olmasının olasılığı yerine, farklı günlerde doğmuş olması olasılığı üzerinden yaklaşılabilir. topluluktaki herkes yılın 365 gününden birinde doğduğuna göre, herhangi 2 kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı 1/365=0,0027 (on binde 27), aynı günde doğmamış (yani, iki kişinin de farklı günde doğmuş olması) olasılığı ise 364/365=0,9973 tür. buradaki yaklaşık binde 3 lük olasılığın aynı zamanda, topluluktaki herhangi bir kişi ile aynı günde doğmuş olma olasılığını da ifade ettiğini belirtelim. benzer şekilde, 3 kişiden 2 sinin aynı günde doğmuş olması olasılığı [(364/365)(363/365)]=0,0082 (binde 8) 4 kişiden 2'sinin aynı günde doğmuş olması olasılığı [(364/365)(363/365)(362/365)]=0,0164 (yüzde 2) 23 kişiden 2 sinin aynı günde doğmuş olması olasılığı [(364/365)(363/365)(362/365)...(343/365)]=0,5073 (yüzde 51), 57 kişiden 2 sinin aynı günde doğmuş olması olasılığını da [(364/365)(363/365)....(309/365)}=0,9901 vb. şeklinde olarak hesaplanabilir.

görüldüğü gibi, 23 kişinin bulunduğu bir ortamda yaklaşık yüzde 51 olasılıkla 2 kişinin doğum gününün aynı olması beklenir. buna karşılık, yüzde 99'dan fazla bir olasılıkla 2 kişinin doğum gününün aynı olması için ise en az 57 kişilik bir grubun olması gerekir. diğer bir deyişle, 57 kişilik bir grupta 2 kişinin doğum gününün aynı olması olasılığı yüzde 99,01' dir. bu problemin paradoks şeklinde adlandırılmasının sebebi ise; gerçekten mantıksal bir açmaz sunması değil, insanların büyük bölümünün önsezilerinin matematiksel bir gerçekle çelişmesidir. ilk bakışta, pek çok kişi 23 kişiden oluşan bir toplulukta herhangi 2 kişinin aynı günde doğmuş olması olasılığının yüzde 51 olabileceğine pek inanmamaktadır. benzer şekilde, 25 kişinin bulunduğu sınıfta 2 kişinin doğum gününün aynı olması olasılığı yüzde 56,87; 30 kişilik sınıfta yüzde 70,63; 35 kişilik sınıfta yüzde 81,44; 40 kişilik sınıfta yüzde 89,12; 45 kişilik sınıfta yüzde 94,10; 50 kişilik sınıfta yüzde 97,04; 55 kişilik sınıfta yüzde 98,63; 60 kişilik sınıfta yüzde 99,41, 65 kişilik sınıfta yüzde 99,77; 70 kişilik sınıfta yüzde 99,92, 75 kişilik sınıfta yüzde 99,97 ve 80 kişilik bir sınıfta yüzde 99,99 vb. olarak bulunabilir. bütün bu hesaplamalarda, doğumların yıl içerisinde normal dağılıma sahip olduğu varsayılır. söz konusu sonuçlara, 365 in, n'li permütasyonunun 365'in n inci üssüne bölümünün 1 den çıkarılmasıyla da ulaşılabileceğini ekleyeyim. ayrıca, yaklaşık olarak aynı sonuçlara 364/365 üzeri nin 2 li kombinasyonunun 1 den çıkarılmasıyla veya 364/365 üzeri n(n-1)/2 değerinin 1 den çıkarılmasıyla da ulaşmak mümkündür. görüldüğü gibi; olasılık ve istatistik, sayıların veya verilerin bulunduğu her alanda ve hayatın içinde olan bir bilim. görebilene, uygulayabilene ve iş sonuçlarına yansıtabilene şapka çıkarıyorum.